Aprobar matemáticas, puede ser toda una odisea. De hecho, es la asignatura en secundaria que más estudiantes suspenden y para algunos, superarla supone el gran reto de la enseñanza obligatoria. Por eso, muchos cuentan con un profesor particular de matemáticas.
Dentro de esta materia, las ecuaciones son uno de los temas más complicados. Aprender a resolverlas y dominarlas puede ser un trabajo que te lleve años. Así que lo primero que tienes que hacer es tener paciencia.
Las ecuaciones de primer grado son las más simples, pero si las dominas a la perfección, el resto se te hará muchísimo más fáciles. Por eso, te ofrecemos una serie de ejercicios que si los superas podrás decir que las dominas casi sin problemas. Ánimo y no olvides compartirlos con aquellos que necesiten un empujón en ecuaciones.
Gabriel Figueroa, profesor particular de matemáticas, te cuenta cómo resolver ecuaciones de segundo grado.
1.- Tres amigos se reparten 1300e. María recibe el doble que el Pablo y este el cuádruple que Alba. ¿Cuánto recibe cada uno?
Planteamiento:
- María: 2 (4x) (doble que el mediano)
- Pablo: 4x (4 veces lo del pequeño)
- Alba: x (llamamos “x” a lo que recibe el pequeño)
Ecuación: “Tres amigos se reparten 1300e”
8x + 4x + x = 1300
Resolución:
8x + 4x + x = 1300
13x = 1300
x = 1300 / 13
x=100
Solución:
- María: 2 (4x) = 8 100 = 800
- Pablo: 4 x = 4 100 = 400
- Alba: x = 100
La suma de las tres cantidades corresponden a la suma total, 1300 euros.
2.- Si el doble de un número más 28 es igual 82, ¿qué número es?
La incógnita x es el número que buscamos. Como el doble se obtiene multiplicando por 2, el doble de x es 2⋅x. Recordad que podemos omitir el punto: 2x.
- El resultado de sumar 28 al doble x es 82, lo que algebraicamente se escribe como 2x + 28 = 82
- Resolvemos la ecuación: 2x = 82 − 28 2x = 54
- El coeficiente 2 de la incógnita pasa al otro lado dividiendo: x = 54 / 2
- Simplificamos la fracción: x = 27
- Por tanto, el número buscado es 27.
3.- En la empresa de Ana hay un total de 1230 trabajadores (hombres y mujeres). Si el número de mujeres supera en 150 al número de hombres, ¿cuántas trabajdoras hay en total?
La incógnita x del problema es el número total de mujeres.
Como hay 150 mujeres más que hombres, el número de hombres es el número de mujeres menos 150. Es decir, x − 150.
El número total de trabajadores es 1230 y es la suma del número de mujeres y de hombres:
x + (x − 150) = 1230
Hemos escrito el paréntesis para que se vea claro que es la suma del número de hombres y del de mujeres.
Resolvemos la ecuación:
x + x − 150 = 1230
2x - 150 = 1230
2x = 1230 + 150
2x = 1380
El 2 pasa dividiendo al otro lado:
x = 1380 / 2
x = 690
Por tanto, el número de alumnas es 690.
4.- Si el perímetro de un cuadrado es 24cm, ¿cuánto miden sus lados?
Recordad que el perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.
Como un cuadrado tiene 4 lados que miden lo mismo, llamamos x a la longitud de uno de ellos.
El perímetro es la suma de los 4 lados
x + x + x + x = 24
4x = 24
x = 24 / 4
x = 6
Los lados del cuadrado miden 6cm (cada uno).
5.- La edad de Alicia es el triple que la de su sobrino y dentro de 10 años será el doble. ¿Qué edad tiene el sobrino de Alicia?
La incógnita x es la edad del hijo.
Como la edad Alicia es el triple que la del hijo, su edad es 3x.
La edad que tendrán dentro de 10 años se calcula sumando 10 a las edades actuales.
El sobrino tendrá x + 10 y Javier tendrá 3x + 10.
Además de esto, la edad de Alicia será el doble que la de su hijo:
3x + 10 = 2 ⋅ (x + 10)
Nota: es muy importante no olvidar el paréntesis para escribir el doble de la suma.
Resolvemos la ecuación:
Para eliminar el paréntesis tenemos que multiplicar por 2 sus sumandos:
3x + 10 = 2 ⋅ x + 2 ⋅ 10
3x + 10 = 2x + 20
3x − 2x = 20 − 10
x = 10
Por tanto, la edad actual del sobrino de Alicia es 10.
6.-En la tienda hay dos refrescos de precios distintos: el pack de refrescos de limón cuesta 10 dólares y el pack de refresco de sandía 5 dólares. Si hemos comprado el mismo número de packs de refrescos de cada tipo por un total de 90 dólares, ¿packs de refrescos tenemos en total?
Como el número de balones de cada tipo es el mismo, lo llamamos x. Entonces, el número total de balones es 2x.
Como tenemos x balones de baloncesto que cuestan 10 dólares cada uno, el coste total de estos balones es 10 x.
Razonado del mismo modo, el coste total de los balones de fútbol es 5x.
El coste total de todos los balones es 90 dólares:
5x + 10x = 90
Resolvemos la ecuación:
15x = 90
x = 90 / 15
x=6
Por tanto, hay 6 balones de cada tipo, así que tenemos un total de 12 balones.
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7.- Carlos trabaja en un zoo cuidando flamencos y leones, siendo 24 el número total de sus patas. Si en total tiene 9 animales, ¿cuántos leones cuida Carlos?
La incógnita x es el número de leones.
Como los animales que no son leones son flamencos, el total menos el número de leones es el número de flamencos. Es decir, el número de flamencos que cuida Carlos es 9−x.
Como los leones tienen 4 patas, suman un total de 4x patas.
Como los flamencos tienen 2 patas, el total de patas de flamencos es (no olvidéis el paréntesis) 2 (9 − x)
Como el número total de patas es 24, la ecuación del problema es
4x + 2 (9 − x) = 24
Resolvemos:
4x + 18 − 2x = 24
2x = 24 − 18
2x = 6
x = 6 / 2
x = 3
Por tanto, Carlos cuida a tres leones.
8.- Una zapatería tiene todos los zapatos al mismo precio, pero cada uno tiene un descuento distinto que se le aplica en la caja. Al pagar nuestra compra nos han aplicado el 30% de descuento en unas zapatillas de deporte y un 10% en unas botas de montaña. ¿Cuánto cuestan inicialmente cada par de zapatos si hemos pagado en total 16 €? ¿Cuál es el precio inicial de cada par de zapatos?
La incógnita x es el precio inicial de las prendas, que sabemos que es común.
Tened en cuenta que al aplicar un 30% de descuento, pagamos el 70%. Y al aplicar un 10%, pagamos el 90%.
Por tanto, el precio final de la camiseta es
70 / 100 · x
Y el precio final de los pantalones es
90/100 · x
En total hemos pagado 16€:
70/100 · x + 90 / 100 · x = 16
Multiplicamos la ecuación por 100:
70x + 90x = 1600
160x = 1600
x = 1600 / 160
Eliminamos el cero común:
x = 160 / 16
x = 10
Por tanto, el precio inicial de las prendas es 10€.
Finalmente, calculamos el precio final de cada prenda:
El de la camiseta es
70 / 100 · 10 = 7
Y el de los pantalones es
90 / 100 · 10 = 9
9 .- En el supermercado los tomates vienen de paquetes de dos y los pepinos en paquetes de tres. Hoy solo quedan el doble de paquete de tomates que de pepinos. Si tenemos en total 112 tomates y pepinos ¿Cuántos paquetes hay en total?
La incógnita x es el número de triciclos. Entonces, el de ciclomotores es 2x. El total de vehículos es
2x+x=3x
Como paquete de pepinos tiene 3 piezas y hay x paquetes, el total de pepinos es 3x. Como cada paquete de tomates tiene 2 piezas de tomate y hay 2x paquetes de tomates, el total de piezas de tomates es
2 ⋅ 2x = 4x
El número total de tomates y pepinos es 112:
3x+4x= 112
7 x = 112
x = 112 / 7
x = 16
El número de pepinos es 16 y el de tomates es 32 (el doble). Por tanto, hay un total de 48 paquetes.
10.- El precio de la entrada de una obra de teatro es de 12 dólares y solo se ha vendido una tercera parte de las entradas disponibles con una recaudación de 1476 dólares. ¿Cuántas entradas quedan a la venta?
La incógnita x es el número total de entradas.
El número de entradas vendidas es la tercera parte del total:
x / 3
Como el precio de cada entrada es de 12 dólares, el dinero recaudado con las entradas es
12 · x / 3 = 1476
Pasamos el 12 dividiendo al otro lado:
x / 3 = 1476 / 12
x / 3 = 123
El 3 pasa multiplicando al otro lado:
x = 3 · 123
x = 369
El número total de entradas (vendidas y por vender) es 369. A al venta quedan 369 − 123 = 246